La dimensión de cualquier cantidad física expresa su dependencia de las cantidades base como un producto de símbolos (o potencias de símbolos) que representan las cantidades base. En la Tabla se enumeran las cantidades base y los símbolos utilizados para su dimensión. Por ejemplo, se dice que una medida de longitud tiene la dimensión L o L1, una medida de masa tiene la dimensión M o M1, y una medida de tiempo tiene la dimensión T o T1. Al igual que las unidades, las dimensiones obedecen a las reglas de álgebra. Así pues, el área es el producto de dos longitudes y, por tanto, tiene la dimensión L2, o sea, la longitud al cuadrado. Del mismo modo, el volumen es el producto de tres longitudes y tiene la dimensión L3, o longitud al cubo. La rapidez tiene una dimensión de longitud en el tiempo, L/T o LT-1. La densidad volumétrica de la masa tiene la dimensión M/L3 o ML-3, o masa sobre longitud al cubo. En general, la dimensión de cualquier cantidad física puede escribirse como LaMbTcIdΘeNfJg para algunas potencias a, b, c, d, e, f y g. Podemos escribir las dimensiones de una longitud en esta forma con a=1 y las seis potencias restantes, todas iguales a cero: L1=L1M0T0I0Θ0N0J0.

Cualquier cantidad con una dimensión que pueda escribirse de forma que las siete potencias sean cero (es decir, su dimensión es L0M0T0I0Θ0N0J0) se denomina adimensional (o a veces «de dimensión 1», porque cualquier cosa elevada a la potencia cero es uno). Los físicos suelen llamar a las cantidades adimensionales números puros.

Los físicos suelen utilizar corchetes alrededor del símbolo de una cantidad física para representar las dimensiones de dicha magnitud. Por ejemplo, si r es el radio de un cilindro y h es su altura, entonces escribimos [r] = L y [h] = L para indicar que las dimensiones del radio y de la altura son las de la longitud, o L. Del mismo modo, si utilizamos el símbolo A para el área de la superficie de un cilindro y V para su volumen, entonces [A] = L2 y [V] = L3. Si utilizamos el símbolo m para la masa del cilindro y ρ para la densidad del material del que está hecho el cilindro, entonces [m] = M y [ρ] = ML−3.

Magnitud fundamental

Símbolo de la dimensión

Longitud

L

Masa

M

Tiempo

T

Intensidad de corriente

I

Temperatura termodinámica

Θ

Cantidad de sustancia

N

Intensidad luminosa

J

La importancia del concepto de dimensión surge del hecho de que cualquier ecuación matemática que relacione cantidades físicas debe ser dimensionalmente coherente, lo que significa que la ecuación debe obedecer las siguientes reglas:

  • Todos los términos de una expresión deben tener las mismas dimensiones; no tiene sentido sumar o restar cantidades de distinta dimensión (piense en el viejo dicho: «No se pueden sumar manzanas y naranjas»). En particular, las expresiones de cada lado de la igualdad en una ecuación deben tener las mismas dimensiones.
  • Los argumentos de cualquiera de las funciones matemáticas estándar como las funciones trigonométricas (como el seno y el coseno), los logaritmos o las funciones exponenciales que aparecen en la ecuación deben ser adimensionales. Estas funciones requieren números puros como entradas y dan números puros como salidas.

Si se viola alguna de estas reglas, una ecuación no es dimensionalmente coherente y no puede ser un enunciado correcto de la ley física. Este simple hecho sirve para comprobar si hay errores tipográficos o de álgebra, recordar las distintas leyes de la física e incluso sugerir la forma que podrían adoptar las nuevas leyes de la física.

Ejemplo A.4

Usar dimensiones para recordar ecuación

Supongamos que necesitamos la fórmula del área de un círculo para algún cálculo. Al igual que muchas personas que aprendieron geometría hace demasiado tiempo como para recordarlo con certeza, hay dos expresiones que nos vienen a la mente cuando pensamos en círculos: πr2 y 2πr. Una expresión es la circunferencia de un círculo de radio r y la otra es su área. Pero ¿cuál es cuál?

SOLUCIÓN

Una estrategia natural es buscarla, pero puede llevar tiempo encontrar información de una fuente fiable. Además, aunque creamos que la fuente es fiable, no debemos confiar en todo lo que leemos. Es bueno tener una forma de comprobarlo dos veces con solo pensarlo. Además, es posible que nos encontremos en una situación en la que no podamos consultar estos aspectos (por ejemplo, durante un examen). Por lo tanto, la estrategia es encontrar las dimensiones de ambas expresiones por el hecho de que dichas dimensiones siguen las reglas de álgebra. Si una de las expresiones no tiene las mismas dimensiones que el área, entonces no puede ser la ecuación correcta para el área de un círculo.

Sabemos que la dimensión del área es L2. Ahora, la dimensión de la expresión πr2 es

    \begin{equation*} \begin{split} [\pi r^2]=[\pi]\cdot[r^2]=1\cdot L^2 =L^2 \end{split} \end{equation*}

ya que la constante π es un número puro y el radio r es una longitud. Por lo tanto, πr2 tiene la dimensión de área. Del mismo modo, la dimensión de la expresión 2πr es

    \normalsize \notag \begin{equation*} \label{eq8} \begin{split} [2 \pi r]=2 \cdot[\pi]\cdot[r]=1\cdot 1 \cdot L =L \end{split} \end{equation*}

ya que las constantes 2 y π son adimensionales y el radio r es una longitud. Vemos que 2πr tiene la dimensión de la longitud, lo que significa que no puede ser un área.

Descartamos 2πr porque no es dimensionalmente coherente con ser un área. Vemos que πr2 es dimensionalmente coherente con ser un área, así que si tenemos que elegir entre estas dos expresiones, \textcolor{red} {\pi r^2 } es la que hay que elegir.

Ejemplo A.5

Comprobar la coherencia dimensional de las ecuaciones

Considere las cantidades físicas s, v, a, y t con dimensiones [s] = L, [v] = LT−1, [a] = LT−2, y [t] = T. Determine si cada una de las siguientes ecuaciones es dimensionalmente coherente: (a) s = vt + 0,5at2; (b) s = vt2 + 0,5at; y (c) v = sen(at2/s).

SOLUCIÓN

Según la definición de coherencia dimensional, tenemos que comprobar que cada término de una ecuación dada tiene las mismas dimensiones que los demás términos de esa ecuación y que los argumentos de cualquier función matemática estándar son adimensionales.

a) No hay funciones trigonométricas, logarítmicas ni exponenciales de las que preocuparse en esta ecuación, por lo que solo tenemos que fijarnos en las dimensiones de cada término que aparece en la ecuación. Hay tres términos, uno en la expresión de la izquierda y dos en la expresión de la derecha, así que los examinaremos uno por uno:

    \begin{equation*} \begin{split} &[s]=L \\ &[vt]=[v] \cdot [t]= LT^{-1} \cdot T=LT^0=L \\ &[0,5at^2]=[a] \cdot [t]^2 =LT^{-2} \cdot T^2=LT^0=L \end{split} \end{equation*}

Los tres términos tienen la misma dimensión, por lo que esta ecuación es {\normalsize \textcolor{red}{dimensionalmente \: coherente}}.

b) De nuevo, no hay funciones trigonométricas, exponenciales ni logarítmicas, por lo que solo tenemos que mirar las dimensiones de cada uno de los tres términos que aparecen en la ecuación:

    \begin{equation*} \begin{split} &[s]=L \\ &[vt^2]=[v] \cdot [t]^2= LT^{-1} \cdot T^2=LT \\ &[at]=[a] \cdot [t] =LT^{-2} \cdot T=LT^{-1} \end{split} \end{equation*}

Ninguno de los tres términos tiene la misma dimensión que otro, así que esto es lo incompatible con la coherencia dimensional. El término técnico para una ecuación como esta es {\normalsize \textcolor{red}{sin \: sentido}}.

c) Esta ecuación contiene una función trigonométrica, por lo que primero debemos comprobar que el argumento de la función seno es adimensional:

    \begin{equation*} \begin{split} \left[\frac{at^2}{s} \right]= \frac{[a][t]^2}{s}= \frac{LT^{-2} \cdot T^2}{L}= \frac{L}{L}=1 \end{split} \end{equation*}

El argumento es adimensional. Hasta ahora, todo va bien. Ahora tenemos que comprobar las dimensiones de cada uno de los dos términos (es decir, la expresión de la izquierda y la de la derecha) de la ecuación:

    \begin{equation*} \begin{split} &[v]=LT^{-1} \\ & \left[sen \left(\frac{at^2}{s}\right)\right]=1 \end{split} \end{equation*}

Los dos términos tienen dimensiones diferentes, es decir, la ecuación no es dimensionalmente coherente. Esta ecuación es otro ejemplo de {\normalsize \textcolor{red}{sin \: sentido}}.

Ejemplo A.6

Determinar las variables que intervienen en un fenómeno

Un grupo de alumnos quiere estudiar los factores que influyen en el periodo de oscilación de un péndulo simple. Los alumnos suponen que el periodo depende de la longitud del hilo (l), de la masa del cuerpo que oscila (m) y del valor de la gravedad (g). Utiliza el cálculo dimensional para estimar si las variables mencionadas son correctas, y establece el tipo de relación de las mismas con el periodo.

SOLUCIÓN

1. La relación general entre las variables indicadas y del periodo es: T = constante · la · mb · gc.

2. Las dimensiones de las magnitudes implicadas:

    \begin{equation*} \begin{split} &[T]=T \\ &[l]=L \\ &[m]=M \\ &[g]=LT^{-1} \end{split} \end{equation*}

3. Establecemos la condición de homogeneidad:

    \begin{equation*} \begin{split} [T]=[constante \cdot l^a \cdot m^b \cdot g^c] \rightarrow T= L^a M^b (LT^{-2})^c \rightarrow T=L^{a+c} M^b T^{-2c} \end{split} \end{equation*}

4. Desarrollar la condición de homogeneidad dimensional. Debe verificarse:

    \begin{equation*} \begin{split} 0=a+c ; 0=b ; 1=-2c \end{split} \end{equation*}

Resolviendo, podemos establecer el valor de los exponentes: a = 1∕2; b = 0; c = −1∕2. Por lo tanto, podemos establecer la relación:

    \begin{equation*} \begin{split} \textcolor{red}{T= constante \sqrt{\frac{l}{g}} } \end{split} \end{equation*}

EJERCICIOS PROPUESTOS

  1. Supongamos que queremos la fórmula del volumen de una esfera. Las dos expresiones que suelen mencionarse en los análisis elementales de las esferas son 4πr2 y 4πr3/3. Una es el volumen de una esfera de radio r y la otra es su superficie. ¿Cuál es el volumen?
  2. ¿La ecuación v = at es dimensionalmente coherente?
  3. La frecuencia de vibración (f) de una masa colgada de un muelle tiene una dimensión de T-1. Experimentalmente se ha comprobado que dicha frecuencia de vibración depende de la masa del cuerpo colgado m, ([m] = M) y de la constante recuperadora elástica del muelle k, ([k]=MT-2). Establece, usando el cálculo dimensional, el posible tipo de relación existente entre dichas variables.
Sistema Internacional de Unidades
Cálculo vectorial